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【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)

山東成人高考網www.ptvguy.com 發布時間: 2018年04月01日

微分知識點睛(導數與微分)

知識結構:

【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)



 

必備基礎知識

導數的定義(增量比值的極限)

【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)

(也可記為【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分), 【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分). 

可導性與連續性的關系

可導【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)連續【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)有極限

:函數在某點處連續是函數在該點處可導的必要條件,但不是充分條件.

導數的幾何意義

函數【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)在點x0處的導數【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)在幾何上表示曲線【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)在點M(x0, f(x0))處的切線的斜率. 

切線方程為:【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)

法線方程為:【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)

導數公式(必須牢記)

(1)  (C)=0,                        (2)  (xm)=m xm-1,

(3)  (sin x)=cos x,                (4)  (cos x)=-sin x,

(5)  (tan x)=sec2x,                 (6)  (cot x)=-csc2x,

(7)  (sec x)=sec x×tan x,           (8)  (csc x)=-csc x×cot x,

(9)  (a x)=a x ln a,                 10)(e x)=ex,

(11) 【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分),                  (12) 【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分),

(13) 【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分),               (14) 【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分). 

(15) 【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分),                (16) 【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分).

函數的和、差、積、商的求導法則

【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)    

【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)

【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)

復合函數的求導法則(從外到里層層求導,外面求導,里面不變)

定理3  若函數【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)在點x處可導, 而【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)在點【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)處可導, 則復合函數【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)在點x處可導, 且其導數為

【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分) 

 【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)                

隱函數的導數(牢記【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)的函數)

如方程F(x,y)=0確定了y=y(x),只需方程兩邊對x求導,注意y=y(x)。

步驟:(1)方程兩邊同時對x求導(注意【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)的函數)

2)解出【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)

對數求導法【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)

先在函數兩邊取對數,然后在等式兩邊同時對自變量【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)求導,最后解出所求導數.

 高階導數(從低階到高階逐階求導)

y=(y), f (x)=[f (x)] , 【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分).

 微分

1) 微分的定義

定義  設函數【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)在某區間內有定義, 【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)在這區間內, 如果函數的增量【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)可表示為:

【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)              

其中A是與【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)無關的常數, 則稱函數【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)在點【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)可微, 并且稱【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)為函數【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)在點【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)處相應于自變量改變量【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)微分, 記作【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分), 即

【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分) 

2) 函數可微的條件

定理 : 函數【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)在點【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)可微的充要條件是:

【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)在點【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)處可導,且【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)。

主要考察知識點和典型例題:

考點一:導數的概念

典型例題 【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)存在, 求極限【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)

解:【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)

【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)

【注】 這種題目一般只出填空或選擇,我們可以按以下方法解題:這種題目的結果均為:【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分),其中【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)等于分子中【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)的個數除以分母中【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)的個數。

考點二:導數的幾何意義

切線方程為:【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)

法線方程為:【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)

典型例題 求曲線【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)在點【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)處的切線方程.

 因為【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)  【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)

故所求切線方程為【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分) 【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)

典型例題:已知【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)處的切線平行于直線【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分),則【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)=_______。

 先求【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)處的切線的斜率:【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分),所以【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)。

由于切線平行于直線【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分),而已知平行直線【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)的斜率【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分),

所以斜率相等,即:【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分),【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)。

考點三:函數和、差、積、商的求導法則

【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分)的和、差、商 (除分母為 0的點外) 都在點 x 可導,

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典型例題 【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分), f (x)及【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分). 

: 【山東成考專升本】數學1--微分知識點睛(導數與微分),  

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